裏紙に雑文

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閉移入が基底変換(base change)で不変であること

なんだかパッと示せなかったのでメモ代わりに残しておこうと思う. 何を確認すれば良いのかは割と明白なのだけれど,層に慣れていない代数幾何学初心者なので混乱してしまった*1

まだよく分かっていないところが多々あるのでおかしいところを発見された方はコメント欄などでご連絡くださると嬉しいです.

定義の確認

スキーム {X} の構造層を {\mathcal{O}_X} などで表すことにする.

スキーム $Z$ とスキームの射 {\iota \colon Z \to X} の組 {(Z, \iota)}{X} の閉部分スキームであるとは, {Z}{X} の閉部分集合で {\iota} は包含写像であり, さらに層の射 {\iota^\# \colon \mathcal{O}_X \to \iota_\ast \mathcal{O}_Z}全射であることをいった.

スキームの射 {f \colon Y \to X} が閉移入(closed immersion)であるとは {f} が閉部分スキーム {(Z, \iota)} と同型射 {\theta \colon Y \cong Z} の合成 {f = \iota \circ \theta} で書けることをいう.

示したいのは次の主張:

定理
閉移入は基底変換(base change)で不変である.

つまり次が成り立つ. {f \colon Y \to X} を閉移入とする. このとき任意の射 {g \colon Z \to X} に対して,ファイバー積から得られる射 {f' \colon Y \times_X Z \to Z} も閉移入となる.

アフィンスキームの閉部分スキーム

まずアフィンの場合に具体的にどのように書けるか確認したい.

{A} とそのイデアル {\mathfrak{a}} について {\Spec A/\mathfrak{a}}{\Spec A} の閉部分スキームとなっている

逆に閉部分スキーム $\iota \colon Y \to X = \Spec A$ を考えたとき, $Y$ が適当な $A$ のイデアル $\mathfrak{a}$ で $Y \cong \Spec A/\mathfrak{a}$ と表せることを期待したい.

層の射 $\iota^\#$ の核を $\mathcal{I} = \ker (\iota^\# \colon \mathcal{O}_X \to \iota_\ast \mathcal{O}_Y)$ とおく. $\mathcal{I}$ は $\mathcal{O}_X$ のイデアルの層となる. いま閉移入の定義より $\iota^\#$ は全射であるから 商層との同型 $\mathcal{O}_X / \mathcal{I} \to \iota_\ast \mathcal{O}_Y$ がある. $\mathfrak{a} = \Gamma (X, \mathcal{I})$ とおくと $\mathcal{O}_X / \mathcal{I} \cong \mathcal{O}_{\Spec A / \mathfrak{a}}$ である. また,任意の開集合 $U \subset Y$ について \[ \mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}} (U) \cong \iota_\ast \mathcal{O}_Y (U) = \mathcal{O}_Y (\iota^{-1}(U)) = \mathcal{O}_Y (U) \] が成り立つ. したがって $\mathcal{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}} \cong \mathcal{O}_Y$ である. 特に $Y = \Spec A/\mathfrak{a}$ と書ける.

アフィンスキームの場合の基底変換について

上の節により,アフィンの場合については閉移入を具体的に書けることが分かった. ファイバー積は局所的にはテンソル積で書けるから,それを用いれば閉移入が基底変換で不変であることがわかる. 実際に確かめてみよう.

$f \colon Y = \Spec A/\mathfrak{a} \to X = \Spec{A}$ を閉移入とする. $Z = \Spec B$ とし,次の基底変換を考える. $$ \begin{xy} \xymatrix { Y \times_X Z \ar[r] \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ Z \ar[r]_g & X } \end{xy} $$

このとき,ファイバー積の構成から $f' \colon Y \times_X Z \to Z$ は全射準同型写像 $B \to B \otimes_A (A/\mathfrak{a})$ から誘導される. さらに同型 $B \otimes_A (A/\mathfrak{a}) \cong B / \mathfrak{a}B$ より $f'$ が閉移入であることがわかる. 特に $Y \times_X Z = \Spec (B / \mathfrak{a}B)$ である.

一般の場合

$X$ と $Y$ が一般のスキームの場合は上で考えたようなアフィンの場合に帰着すればよい. スキームはアフィン開集合を開基として持つので局所的な議論で証明ができる.

$f \colon Y \to X$ を閉移入とする. このとき $X$ の適当なアフィン開被覆 $\{ U_i = \Spec A_i \}_{i \in I}$ をとれば $f^{-1} (U_i) = \Spec A/\mathfrak{a}_i$ ($\mathfrak{a}_i$ は $A_i$ の適当なイデアル)と書ける.

スキーム $Z$ のアフィン開被覆 $\{ \Spec B_i \}$ を $g(\Spec B_i) \subset U_i = \Spec A_i$ を満たすようにとる. $$ \begin{xy} \xymatrix { Y \times_X Z \ar[r]^{g'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ Z \ar[r]_g & X } \end{xy} $$

さて,このとき次のようにしてアフィンの場合に帰着できる. \begin{align} (f')^{-1} (\Spec B_i) &= Y \times_X \Spec B_i \\ &= \Spec A_i / \mathfrak{a}_i \times_{\Spec A_i} \Spec B_i \\ &= \Spec ((A_i / \mathfrak{a}_i) \otimes_{A_i} B_i) \\ &= \Spec (B_i / \mathfrak{a}_i B_i). \end{align}

1番目と2番目の等号はファイバー積の普遍性とアフィン開集合の取り方より分かる. 以上より $f'$ は閉移入であることが分かった. 証明終わり.

追記(2017-10-31)

閉移入であることは local property on the target である. 簡単に言うと \( f \colon Y \to X \) について,\( X \) のアフィン開被覆 \( \{ X_i \}_{i \in I} \) と \( Y_i = f^{-1} (X_i) \) について, 各制限 \( f|_{Y_i} \colon Y_i \to X_i \) が閉移入であるとき \( f \) も閉移入である. 層の全射性については各点の茎を見てやればよいから,明らかに局所的な性質である. 各制限が閉移入であるとすると,仮定より \( f \) は連続単射である. 後は \( f(Y) \) が \( X \) の閉集合になっていることを確認すれば良い. これはより一般に「部分集合 \(F \subset X\) についてすべての \(i\) で \(X_i \cap F\) が閉集合ならば \(F\) は閉集合」を確認すればok. 実際 \begin{equation} X \setminus F = \bigcup_{i} \big( X_i \setminus (X_i \cap F) \big) \end{equation} より分かる. 何かおかしなことを書いていたらコメントくださいませ.

参考文献

*1:いつまで初心者を名乗り続けるつもりなのかは問うてはいけない