表現可能関手と積・ファイバー積
積(product)とかファイバー積(fibre product)を表現可能関手で書けることを最近知ったのだけれど，どうやら人類の常識っぽいので備忘録として残しておく．
以下 $\newcommand{\C}{\mathbf{C}} \C$ を locally small な圏*1とし，$\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \Set$ を集合と写像がなす圏とする．
表現可能関手
$\mathbf{C}$ の対象 $W$ をひとつとる． このとき反変関手 $h_W \colon \C \to \Set$を次のようにして定める：
対象 $X \in \C$ に対し \[ h_W (X) = \Hom_\C (X,W) \] とし，射 $f \colon X \to Y$ に対し \[ h_W (f) \colon h_W (Y) \to h_W (X), \quad \varphi \mapsto \varphi \circ f \] とする．
定義
反変関手 $F \colon \C \to \Set$ が表現可能であるとは，適当な対象 $W \in \C$ が存在して $F$ と $h_W$ が自然同型となることをいう．
反変関手 $F$ が自然変換 $\theta \colon F \to h_W$ によって自然同型となっているときについて考えよう． いま $\theta_W \colon F(W) \to h_W(W)$ は全単射な写像となっているので， $\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \theta_W (\psi) = \id_W$ となるような $\psi \in F(W)$ がとれる． ここで $\id_W \colon W \to W$ は恒等射を表す． このとき $F$ は $(W,\psi)$ で表現されるという．
証明はしないが，$F$ を表現する $(W,\psi)$ は同型を除いて一意的に定まる．
積
$X, Y \in \C$ を対象とする． $X$ と $Y$ の(有限)積とは，対象 $X \times Y$ と射 $p_1 \colon X \times Y \to X$, $p_2 \colon X \times Y \to Y$ の組であって以下の普遍性を満たすものである；
任意の対象 $T$ と任意の射 $f \colon T \to X$, $g \colon T \to Y$ に対して次の図式を可換にする射 $\langle f,g \rangle \colon T \to X \times Y$ が一意に存在する． $$ \begin{xy} \xymatrix { & T \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar@{.>}[d]|{\langle f,g \rangle} & \\ X & X \times Y \ar[l]^{p_1} \ar[r]_{p_2} & Y } \end{xy} $$
圏 $\Set$ において積は直積集合と各成分への射影のことであることに注意しておく．
表現可能関手と積
対象 $X$, $Y \in \C$ をとる．次のような反変関手 $F \colon \C \to \Set$ を考えられる． すなわち対象 $T \in \C$ に対し \[ F(T) = \Hom_\C (T,X) \times \Hom_\C (T,Y) \] と定義し，射 $\varphi \colon T \to S$ に対しては \[ F(\varphi) \colon F(S) \to F(T), \quad (f,g) \mapsto (f \circ \varphi, g \circ \varphi) \] と定義する． ここで $\Hom_\C (T,X) \times \Hom_\C (T,Y)$ は集合としての直積である．
定理
上で定めた関手 $F \colon \C \to \Set$ が $(W,(p_1,p_2))$, $W \in \C$, $(p_1,p_2) \in F(W)$ で表現されるとき，$W$ は $X$ と $Y$ の積である．
$\theta \colon F \cong h_W$ を自然同型とする． いま仮定から $\theta_W \colon F(W) \to h_W (W) = \Hom_\C (W,W)$ は集合の間の全単射な写像で $\theta_W (p_1,p_2) = \id_W$ であることに注意しておく．
$W$, $p_1 \colon W \to X$, $p_2 \colon W \to Y$ が積の普遍性を満たすことを確かめよう． 対象 $T \in \C$ と射 $f \colon T \to X$, $g \colon T \to Y$ を勝手にとる． 定義より $(f,g) \in F(W)$ であるから $\varphi = \theta_T (f,g) \in h_W (T)$ が定まる． $\theta$ が自然同型であることから，次の図式を追跡すれば $(p_1 \circ \varphi, p_2 \circ \varphi) = (f,g)$ が分かる．
$$ \begin{xy} \xymatrix { F(W) \ni (p_1,p_2) \ar@{|->}[r]^{\theta_W} & \id_W \in h_W (W) \ar@{|->}[d]^{h_W (\varphi)}\\ F(T) \ni (f,g) \ar@{|->}[r]_{\theta_T} & \varphi \in h_W (T) } \end{xy} $$
したがって $f$, $g$ から $\varphi$ が一意的に定まり，図式 $$ \begin{xy} \xymatrix { & T \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar@{.>}[d]|{\varphi} & \\ X & W \ar[l]^{p_1} \ar[r]_{p_2} & Y } \end{xy} $$ を可換にする． ゆえに $W$ は $X$ と $Y$ の積である． 証明終わり．
逆に積 $X \times Y$ が存在すれば $F$ は表現可能である．
ファイバー積
ファイバー積については上の関手 $F$ の定義を少し変えてやれば良い． つまり $\C$ の射 $f \colon X \to Z$, $g \colon Y \to Z$ が与えられたとき， 対象 $U \in \C$ に対して \[ G(U) = \{ (x, y) \in \Hom_\C (U, X) \times \Hom_\C (U, Y) \mid f \circ x = g \circ y \} \] と定めれば良い． 射 $\varphi \colon U \to T$ についても \[ G(\varphi) (x',y') = (x' \circ \varphi, y' \circ \varphi) \quad (x', y') \in G(T) \] とすれば $G \colon \C \to \Set$ は反変関手となる． $$ \begin{xy} \xymatrix { U \ar[r]^x \ar[d]_y & X \ar[d]^f \\ Y \ar[r]_g & Z } \end{xy} $$
ある対象 $W \in \C$ がこの反変関手 $G$ を表現するとき，$W$ は $X$ と $Y$ の $Z$ 上のファイバー積である． 証明は積のときと同様にすれば良い．
*1:任意の対象 $X$, $Y$ について $\Hom_\C (X,Y)$が集合であるような圏
