定義を勘違いしていたという話

mtino1594です。ここ2,3週間ほど加群のテンソル積の構成方法が分からなくて悩んでいました。いろいろな本を参照したりしましたが、どうにも納得がいかないところがあって立ち往生してしまっていました(こういう時こそ先生や先輩に訊きに行けばよいのですが…)。

気になっていたところ

結論から言うと、自由加群の定義を勘違いしていたというのが問題でした。 備忘録代わりに書き記しておくことにします。

以下、を環(単位元つき、可換環)とし、を加群として話を進めていきます。 テンソル積を構成するときは直積の元を基底として自由-加群をつくる。

で、この自由加群の定義を勘違いしていたのでした。 自由-加群の定義は

でした(細部は異なるかもしれませんが大体の本ではこうなっていると思います)。

直積の元を基底として自由加群をつくるとは、 に対応する成分がで、その他の成分がであるようなもの を基底とするようなものを考えることです。

これをどのように勘違いしたのか、直積に成分ごとの和と作用を考えた-加群だと思っていました。 そりゃあ納得いかんわ。
自由加群の定義をきちんと見直しておけばすぐに解決していた問題でした。 変に思い込みを持たないこと、大切ですが難しいですね。

ちなみに、無限個の場合の直積と直和が異なることは『線形代数の世界』(斎藤毅、東京大学出版)が分かりやすかったです。 少し抽象的で分かりにくいですが、テンソル積の構成そのものについても非常に参考になりました(この本を読んだらどこで詰まったか分かりました)。

まだちょっと分からないところ

『代数学2 環と体とガロア理論』(雪江明彦、日本評論社)では、環は代数であるものであるとしていました (ただしは可換環では可換とは限らない)。 また、自由-加群ではなく自由-加群を用いてテンソル積を構成していました。 これは一体何を意図してこうしているのか、もう少し考えてみたいと思います。